1、引言
　　
　　在在線、自動檢測系統中,球坑的測量一般采用包容法。而在需測得球坑半徑的數值時,包容法顯然不能滿足要求。為此,需要探索既能滿足要求而又簡單實用的方案。本文在分析了四點測球法理論模型的基礎上,提出了兩種不同的四點測球方案,通過分析、比較,zui后確定出實際測量方案。
　　
　　2、四點測球法理論*方案
　　
　　空間要確定一個球,必須有四個參數,即球心坐標（a,b,c）和球半徑R。對應地要已知球面上四個點的坐標才能建立四個方程,構成一個方程組。因此,為了實現球參數的測量,至少要建立四個測量點,即所謂四點測球法。　　
　　由于任何測量系統都存在誤差,所以由實測的四點Pi得到的球半徑存在測量誤差δR。設x,y,z三個方向上的測量誤差均為±Δ,根據誤差理論有:　　
　　由式（3）可知,球半徑的測量誤差與各點坐標測量誤差有關,可以通過合理布置測量點的位置,使球半徑測量誤差達到zui小,即存在*方案。理論分析表明,若被測球為標準球,當Pi（i=1,2,3,4）四點在空間構成正四棱錐時,測得的球半徑誤差zui小[1],如圖2所示。此時,δR=±Δ/2。　　
　　3、球坑測量方案的討論
　　
　　3·1“三加一”方案
　　
　　測量對象為半球坑,圖2的方案顯然不可能實現。但受其啟發,可采用3+1的形式,即三個測點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ布置在同一圓截面上且互成120°另一個測點Ⅳ布置在球頂點。如圖3所示,稱之為“三加一”方案。
　　
　　可以設想,測量時,由1、2、3、4組成的測桿機構在氣缸的推動下向下推進,直到死擋塊限位時為止。設測桿中心O的坐標為（0,0,0）,并以它作為坐標原點,計算對應的被測球的球心P的坐標（a,b,c）和球半徑R。設測點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ到O點的距離分別為r1、r2、r3、r4。則在如圖的坐標系中,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的坐標分別為:　　
　　將以上各點坐標代入式（1）、式（2）,解方程組可得a,b,c,R的值。由于被測球坑采用成形銑刀加工,該球坑“赤道平面”附近區域加工質量好,而在“極地”附近區域加工質量較差。因此,該方案中測點Ⅳ的選擇就不太理想。
　　
　　同時,在確定各測點坐標時,是采用測頭的相對位移加上原來各測點到O點的長度得到的（見圖3）。O點是測頭4所在軸線與測頭1、2、3所在平面的交點。而要測出各測頭到O點的長度也是比較困難的,尤其當被測球坑半徑較小時更難實現。
　　
　　3·2“二加二”方案
　　
　　通過對“三加一”方案的討論,針對其不足,引發出“二加二”方案[2]。該方案將四個測點布置成二二對稱的2+2形式,并使兩組測點分別位于不同的水平面上,如圖4所示。測點1和2同在一個平行于“赤道平面”的圓截面上,3和4在另外一個圓截面上。圖中虛線所示為各測頭球心的軌跡,由于測量時保證各測點均與球內壁相接觸,當測頭半徑為r時,被測球面與各測頭球心的軌跡是兩個半徑差為r的同心球面。于是,對被測球面的測量就轉化為對各測頭球心軌跡的測量。同樣根據四點測球原理,只要測得與球內壁接觸的四測頭的球心坐標,那么代入式（1）和式（2）,即可計算出被測球坑的參數a、b、c、R。　　
　　與前一方案相比,“二加二”方案明顯克服了“三加一”方案的不足之處。首先,測點選擇避開了加工質量較差的極地區域,從而避免了由加工質量引起的測量誤差。同時,采用對徑測量,還可以消除偏心和抖動的影響。通過分析、比較,對于所討論的檢測對象,決定采用“二加二”方案。
　　
　　4、方案的實施與應用
　　
　　從前面的分析可知,“三加一”方案不適合作者擬檢測的對象。事實上,由于待測球坑尺寸的限制（SR=7·15mm）,采用該方案時測頭的空間布置也幾無可能。當然,采用“二加二”方案,在測頭的空間布置上也同樣存在困難,需要縝密考慮、精心設計。
　　
　　作者采用沿z方向放置的高精度電感式位移傳感器來感受位移的變化,球面坐標的變化到z向位移的轉換通過靈敏杠桿的預變換來實現。四個靈敏杠桿前端的測點布置成二二對稱的形式,并使兩組測點在z向錯開,建立在不同高度的水平面內。這樣,zui終構成的四點測球坑傳感器外徑被限制在43mm的范圍內,4個測頭從端部伸出可探入SR7·15mm的半球坑。其中杠桿1、2位于yoz平面內,杠桿3、4位于xoz平面內,如圖5所示。圖中li（i=1,2,…,16）表示杠桿的結構尺寸,si（i=1,2,3,4）表示測量球坑參數時各個傳感器的示值,ai（i=1,2,3,4）表示杠桿與水平位置的夾角。　　
　　各測點對應的空間坐標為（xi,yi,zi）,（i=1,2,3,4）。根據幾何關系,各測點坐標與傳感器示值、杠桿結構尺寸及空間位置之間構成下列關系:　　
　　據此求出xi、yi、zi（i=1,2,3,4）后,代入式
　　
　　（1）、式（2）即可求得球坑參數。
　　
　　根據上述原理設計的四點測球坑傳感器已用于自動測量儀中。對該傳感器進行誤差分析（另文發表）,其球坑測量的理論不確定度為δR=±0·9μm。采用SR7·146mm的標準球坑進行校準,經10次測量,得球坑半徑的極限誤差δlimR=±1μm,與理論計算吻合。